连续/可导/可微/可积

连续

对图像的直观理解：图像是连续不断的。

该点极限存在且和该点函数值相同。

定义

设函数 $f$ 在 $U(x_0)$ 邻域内有定义，若满足：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$

则称 $f$ 在点 $x_0$ 连续。

增量形式定义

记：

• 自变量增量 $\mathrm{\Delta }x=x-x_0$
• 函数值增量 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$

当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时，若满足：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=0$$

则称 $f$ 在点 $x_0$ 连续。 （与极限定义等价）

连续性的三个判定条件

函数 $f$ 在 $x_0$ 处连续需同时满足：

1. $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在（$x_0$ 处有极限）
2. $f(x_0)$ 存在（$x_0$ 处有定义）
3. $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$（极限值等于函数值）

增量形式定义

记：

• 自变量增量 $\mathrm{\Delta }x=x-x_0$
• 函数值增量 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$

当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时，若满足：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=0$$

则称 $f$ 在点 $x_0$ 连续。（与极限定义等价）

连续性的三个判定条件

函数 $f$ 在 $x_0$ 处连续需同时满足：

1. $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在（$x_0$ 处有极限）
2. $f(x_0)$ 存在（$x_0$ 处有定义）
3. $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$（极限值等于函数值）

可导

对图像的理解：图像是光滑的。

不严谨：存在垂直切线（导数无穷）

定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，若极限：

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

存在，则称 $f$ 在点 $x_0$ 可导，该极限称为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数，记作 $f^{\prime }(x_0)$。若极限不存在，则称 $f$ 在 $x_0$ 处不可导。

增量形式定义

记：

• 自变量增量 $\mathrm{\Delta }x=x-x_0$
• 函数值增量 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$

导数可表示为：

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

导数的三种等价定义形式

① 标准形式：

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

② 增量形式：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

③ 变量替换形式（令 $h=x-x_0$）：

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

几何意义

导数 $f^{\prime }(x_0)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率：

• $\mathrm{\Delta }x$ 为自变量的变化量
• $\mathrm{\Delta }y$ 为函数值的变化量
• 当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时，$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ 的极限即为切线斜率

可导和连续的关系

结论1：可导一定连续，连续不一定可导

图像直观理解

可导：光滑

连续：连绵不断

定义直观理解

函数连续定义：$$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$$

函数可导的定义：$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \text{ 极限存在}$$

可导一定连续：假如$$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$分子不为0，当分母趋近于0时，极限一定不存在，趋近于正无穷或者负无穷因此分母一定为0，即函数连续。

连续不一定可导：$$\Delta{y}$$为0，$$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$零比零型极限不一定存在

严格证明

可导 ⇒ 连续

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，即存在 $f^{\prime }(x_0)$ 满足：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x_0)$$

其中 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$

构造无穷小量：

$$\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}-f^{\prime }(x_0)(\mathrm{\Delta }x\to 0\text{时}\epsilon \to 0)$$

两边同时乘$$\Delta x$$变形得函数增量表达式：

$$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x+\epsilon \mathrm{\Delta }x$$

当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=0⟹\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$

故 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

反例说明（连续 ⇏ 可导）

以 $y=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处为例：

1. 连续性验证：

   $$\underset{x\to 0}{lim}\sqrt[3]{x}=0=f(0)$$

   满足连续定义。

2. 不可导性验证：

   $$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt[3]{h}-0}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h^{2/3}}=+\mathrm{\infty }$$

   导数趋向无穷，故不可导。

以下情形会导致连续但不可导：

• 存在垂直切线（导数无穷）
• 存在尖点（左右导数不相等）
• 振荡间断（如 $y=x\sin (1/x)$ 在 $x=0$ 处）

可微

概念引入

设一边长为 $x_0$ 的正方形，它的面积 $S=x_0^2$。
若边长增量为 $\mathrm{\Delta }x$，则面积增量：

$$\mathrm{\Delta }S=(x_0+\mathrm{\Delta }x{)}^2-x_0^2=2x_0\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2$$

直观理解：
当 $x_0$ 有微小增量 $\mathrm{\Delta }x$ 时，面积增量 $\mathrm{\Delta }S$ 可近似用第一部分 $2x_0\mathrm{\Delta }x$ 代替，误差为 $(\mathrm{\Delta }x{)}^2$（关于 $\mathrm{\Delta }x$ 的高阶无穷小量）。

定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义。当 $x_0$ 有增量 $\mathrm{\Delta }x$（$x_0+\mathrm{\Delta }x\in U(x_0)$）时，函数增量为：

$$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$$

可微的判定：
若存在常数 $A$，使得 $\mathrm{\Delta }y$ 可表示为：

$$\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$

则称 $f$ 在点 $x_0$ 可微，并称 $A\mathrm{\Delta }x$ 为 $f$ 在 $x_0$ 的微分，记作 $dy$，即：

$$dy=A\mathrm{\Delta }x$$

关键性质：

• 微分 $dy$ 与增量 $\mathrm{\Delta }y$ 仅相差一个高阶无穷小量。
• 当 $A\ne 0$ 时，$dy$ 是 $\mathrm{\Delta }y$ 的线性主部（$\mathrm{\Delta }x$ 的线性函数）。

可微和可导的关系

结论2： 函数 $ f $ 在点 $x_{0} $ 处可微的充要条件是 $ f $ 在 $ x_{0} $ 处可导，且微分系数 $ A = f'(x_{0}) $。

证明

必要性（可微 ⇒ 可导）

若 $ f $ 在 $ x_{0} $ 可微，由定义：

$$\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$

两边除以 $ \Delta x $：

$$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=A+\frac{o(\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

取极限 $ \Delta x \to 0 $：

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=A$$

即 $ f $ 在 $ x_{0} $ 可导，且 $ A = f'(x_{0}) $。

充分性（可导 ⇒ 可微）

若 $ f $ 在 $ x_{0} $ 可导，即极限存在：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x_0)$$

由极限定义，可设：

$$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x_0)+\epsilon (\epsilon \to 0\text{ 当 }\mathrm{\Delta }x\to 0)$$

整理得：

$$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x+\epsilon \mathrm{\Delta }x$$

其中 $ \varepsilon \Delta x = o(\Delta x) $，故满足可微定义：

$$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$

因此 $ f $ 在 $ x_{0} $ 可微，且 $ dy = f'(x_{0})\Delta x $。

总结

1. 可微 ⇔ 可导：函数在某点可微与可导等价，且微分系数 $ A $ 即为导数 $ f'(x_{0}) $。
2. 微分表达式：$$dy=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x$$或写作 $ dy = f'(x_{0})dx $（当 $ \Delta x $ 记为 $ dx $ 时）。
3. 几何意义：==微分 $ dy $ （近似值）是函数增量 $ \Delta y $（准确值） 的线性主部，用切线近似代替函数变化==。

连续、可导、可微之间的关系

可积

定义

分割（定义1）

设闭区间 $[a,b]$ 上有 $n-1$ 个点，依次为：

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$$

这些点将 $[a,b]$ 划分为 $n$ 个小区间 ${\mathrm{\Delta }}_i=[x_{i-1},x_i]$（$i=1,2,\dots ,n$）。

• 分割表示：记为 $T=\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}$ 或 ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_n$。
• 小区间长度：$\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$。
• 分割模：$\parallel T\parallel =\underset{1\le i\le n}{max}\{\mathrm{\Delta }{x}_i\}$，表示最大子区间长度。

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积分和（定义2）

设 $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的函数，对于分割 $T=\{{\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_n\}$，任取点 ${\xi }_i\in {\mathrm{\Delta }}_i$（$i=1,2,\dots ,n$），作和式：

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的积分和（黎曼和）。

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可积性（定义3）

设 $f(x)$ 定义在 $[a,b]$ 上，$J$ 为确定的实数。若对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对 $[a,b]$ 的任意分割 $T$ 及任意选取的点集 $\{{\xi }_i\}$，只要 $\parallel T\parallel <\delta$，就有：

$$|\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-J|<\epsilon$$

则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积（黎曼可积），$J$ 称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分（黎曼积分），记作：

$$J={\int }_a^{b}f(x)dx$$

极限表示

定积分也可用极限符号表示：

$$J=\underset{\parallel T\parallel \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i={\int }_a^{b}f(x)dx$$

关于可积的几个重要结论

1. 可积的充分条件

① 连续函数可积：
设 $ f $ 为 $[a,b]$ 上的连续函数，则 $ f $ 在 $[a,b]$ 上必可积。
（连续函数在闭区间内一致连续，保证振幅可控）

② 有限间断点的有界函数可积：
若 $ f $ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个第一类间断点（跳跃间断点），则 $ f $ 在 $[a,b]$ 上可积。
（间断点贡献的积分和误差可被限制）

2. 可积的必要条件

有界性要求：
若函数 $ f $ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $ f $ 在 $[a,b]$ 上必定有界。
（无界函数的积分和会发散，无法收敛到有限值）

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3. 可积的充要条件（可积准则）

定理表述：
函数 $ f $ 在 $[a,b]$ 上可积的充要条件是：
对任意 $ \varepsilon > 0 $，存在分割 $ T $，使得上和 $ S(T) $ 与下和 $ s(T) $ 满足：

$$S(T)-s(T)<\epsilon$$

关键概念：

• 上和 $ S(T) $：取每个子区间上 $ f(x) $ 的上确界 $ M_i $，求和 $ \sum M_i \Delta x_i $。
• 下和 $ s(T) $：取每个子区间上 $ f(x) $ 的下确界 $ m_i $，求和 $ \sum m_i \Delta x_i $。

多元函数

多元函数：可微一定可导，可微一定连续，偏导连续一定可微，偏导存在不一定连续。

可偏导不能推出连续：偏导只能管住当前偏导方向的数（该点极限趋近于某个数），其他方向管不到

同理，可偏导推不出可微：可微是全增量，跟一领域内的点上函数值都是有关系的，但是偏导只能（例如二元函数，偏导只跟两个方向上那两条线有关，决定不了其他临近点的变化趋势）。一元函数可以是因为X方向导数可以决定领域内所有函数

==连续：一维：可微<=>可导=>连续=>可积，多维：可微=>偏导数存在=>连续=>可积==

函数可微性：在某点附近局部很平（无论怎么放大放大再放大都不“尖”），光滑===>附近的坡度多大方向导数就多大，光滑说明所有方向上导数存在，但是多元偏导只能保证多个方向上（几元几个方向）的光滑。

例如下图原点，x、y、z三个方向均可导，有方向导数：

可微和可导的区别与联系

一句话结论

对于一元函数（只有一个自变量的函数）：可导 ⇔ 可微。这两个概念是完全等价的，可以不加区分。

对于多元函数（有多个自变量的函数）：可导 ⇒ 可微。可微比可导的要求更严格，是可导的“升级版”。

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详细解释

1. 一元函数的情况 (𝑓: ℝ → ℝ)

在一元函数中，我们研究的是平面曲线（比如 𝑓(𝑥) = 𝑥²）。

• 可导

  • 定义：函数在某点 𝑥₀ 的导数存在。
  • 几何意义：函数图像在该点存在切线（不能是垂直切线）。
  • 数学表达：极限 lim[ℎ→0] (𝑓(𝑥₀+ℎ) - 𝑓(𝑥₀)) / ℎ存在（且有限），这个极限值就是导数 𝑓‘(𝑥₀)。

• 可微

  • 定义：函数在某点 𝑥₀ 的增量（Δ𝑦） 可以表示为关于自变量增量（Δ𝑥）的线性函数加上一个比 Δ𝑥 更高阶的无穷小。

  • 几何意义：在点 𝑥₀ 附近，可以用一条直线（即切线）来非常“好”地近似函数本身，近似误差是 Δ𝑥 的高阶无穷小。

  • 数学表达：存在一个常数 𝐴，使得

    Δ𝑦 = 𝑓(𝑥₀+Δ𝑥) - 𝑓(𝑥₀) = 𝐴 · Δ𝑥 + 𝑜(Δ𝑥)

    其中 𝑜(Δ𝑥)是比 Δ𝑥 更高阶的无穷小，即 lim[Δ𝑥→0] 𝑜(Δ𝑥)/Δ𝑥 = 0。

为什么在一元函数中两者等价？

因为可以证明，上面可微定义中的那个常数 𝐴不是别的，正好就是导数 𝑓'(𝑥₀)。

即：Δ𝑦 = 𝑓'(𝑥₀) · Δ𝑥 + 𝑜(Δ𝑥)

所以，一元函数可导就是可微，可微就是可导。你完全可以把它俩当成一回事。

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2. 多元函数的情况 (𝑓: ℝⁿ → ℝ)

在多元函数中，我们研究的是曲面或超曲面（比如 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑦²）。情况变得复杂起来。

• 可导（偏导数存在）

  • 定义：函数在某点 (𝑥₀, 𝑦₀) 的所有偏导数都存在。
  • 几何意义：函数图像在该点沿各个坐标轴方向（𝑥轴、𝑦轴方向）都存在切线。
  • 数学表达：极限 ∂𝑓/∂𝑥 = lim[ℎ→0] (𝑓(𝑥₀+ℎ, 𝑦₀) - 𝑓(𝑥₀, 𝑦₀)) / ℎ和 ∂𝑓/∂𝑦 = lim[ℎ→0] (𝑓(𝑥₀, 𝑦₀+ℎ) - 𝑓(𝑥₀, 𝑦₀)) / ℎ都存在。

• 可微

  • 定义：是一元函数可微概念的自然推广。函数在某点 (𝑥₀, 𝑦₀) 的全增量（Δ𝑧） 可以表示为关于各自变量增量（Δ𝑥, Δ𝑦）的线性组合加上一个比 ρ更高阶的无穷小，其中 ρ = √[(Δ𝑥)² + (Δ𝑦)²]（即动点到定点的距离）。

  • 几何意义：在点 (𝑥₀, 𝑦₀) 附近，可以用一个平面（即切平面）来非常“好”地近似函数本身，近似误差是距离 ρ的高阶无穷小。这是比“存在切线”强得多的条件。

  • 数学表达：存在常数 𝐴, 𝐵，使得

    Δ𝑧 = 𝑓(𝑥₀+Δ𝑥, 𝑦₀+Δ𝑦) - 𝑓(𝑥₀, 𝑦₀) = 𝐴·Δ𝑥 + 𝐵·Δ𝑦 + 𝑜(ρ)

为什么在多元函数中两者不等价？

可微定义中的常数 𝐴和 𝐵正好就是偏导数 ∂𝑓/∂𝑥和 ∂𝑓/∂𝑦。所以，可微必然可导（即所有偏导数必然存在）。

但是，可导（偏导数存在）不一定可微！

仅仅保证沿坐标轴方向的变化规律是良好的，并不能保证在所有方向（尤其是任意方向）的变化规律都是良好的。可微要求函数在点的邻域内沿所有方向的变化都可以用那个线性部分（切平面）来很好地描述。

反例：存在这样的多元函数，它在某点的所有偏导数都存在，但它在该点却不可微。这种函数通常看起来在这一点非常“怪异”，可能沿不同方向逼近该点会得到不同的极限。

可微的充分条件：如果函数在某点的偏导数不仅存在，而且连续，那么该函数在该点一定可微。

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总结对比表

特征	可导	可微
一元函数	等价	等价
多元函数	偏导数存在	存在切平面
关系	可微 ⇒ 可导	可导 ⇏ 可微
几何意义	沿坐标轴方向存在切线	在点附近可用切平面近似
层次	较低要求，单向性质	较高要求，全局性质

记忆技巧

• 一元函数：可微=可导。不用担心，随便用。
• 多元函数：可微 ⊂ 可导。可微是可导的子集。可微是“高级的可导”，它要求函数在一点附近不仅要有切线，还要“足够光滑”以至于能形成一个切平面。

简单来说，可微是可导的“高级版”或“强化版”。在多元情况下，可导是一个相对容易满足的条件，而可微则揭示了函数更深刻的局部线性性质。

Reference

连续/可导/可微/可积，一个视频理解清楚bilibili

[6分钟速通可微和可导直观理解]_哔哩哔哩_bilibili